七年级数学教案平方差公式

教学建议

　　一、知识结构

　　二、重点、难点分析

　　本节教学的重点是掌握公式的结构特征及正确运用公式．难点是公式推导的理解及字母的广泛含义．平方差公式是进一步学习完全平方公式、进行相关代数运算与变形的重要知识基础．

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　　1．平方差公式是由多项式乘法直接计算得出的：

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　　与一般式多项式的乘法一样，积的项数是多项式项数的积，即四项．合并同类项后仅得两项． 字串5

　　2．这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差．公式中的字母可以表示具体的数（正数和负数），也可以表示单项式或多项式等代数式． 字串7

　　只要符合公式的结构特征，就可运用这一公式．例如

字串8

　　在运用公式的过程中，有时需要变形，例如，变形为，两个数就可以看清楚了．

　3．关于平方差公式的特征，在学习时应注意： 字串4

　　（1）左边是两个二项式相乘，并且这两上二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． 字串6

　　（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． 字串2

　　（3）公式中的和可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 字串7

　　（4）对于形如两数和与这两数差相乘，就可以运用上述公式来计算． 字串4

　　三、教法建议

　　1．可以将“两个二项式相乘，积可能有几项”的问题作为课题引入，目的是激发学生的学习兴趣，使学生能在两个二项式相乘其积可能为四项、三项、两项中找出积为两项的特征，上升到一定的理论认识，加以实践检验，从而培养学生观察、概括的能力．

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　　2．通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳，得出为什么有的两个二项式相乘，其积为两项，因为其中两项是两个数的平方差，而另两项恰是互为相反数，合并同类项时为零，即

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　　(a b)(a-b)=a2 ab-ab-b2=a2-b2．

　　这样得出平方差公式，并且把这类乘法的实质讲清楚了．

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　　3．通过例题、练习与小结，教会学生如何正确应用平方差公式．这里特别要求学生注意公式的结构，教师可以用对应思想来加强对公式结构的理解和训练，如计算(1 2x)(1-2x)，

　　(1 2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2
　　 ↓ ↓ ↓ ↓　↑　↑

　　(a b)(a - b)=a2- b2．

　　这样，学生就能正确应用公式进行计算，不容易出差错． 字串7

　　另外，在计算中不一定用一种模式刻板地应用公式，可以结合以前学过的运算法则，经过变形后灵活应用公式，培养学生解题的灵活性． 字串4

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教学目标 字串1

　　1．使学生理解和掌握平方差公式，并会用公式进行计算； 字串1

　　2．注意培养学生分析、综合和抽象、概括以及运算能力． 字串5

　　教学重点和难点 字串3

　　重点：平方差公式的应用．

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　　难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式． 字串6

　　教学过程设计

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　　一、师生共同研究平方差公式 字串6

　　我们已经学过了多项式的乘法，两个二项式相乘，在合并同类项前应该有几项？合并同类项以后，积可能会是三项吗？积可能是二项吗？请举出例子．

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　　让学生动脑、动笔进行探讨，并发表自己的见解．教师根据学生的回答，引导学生进一步思考： 字串8

　　两个二项式相乘，乘式具备什么特征时，积才会是二项式？为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是两项呢？而它们的积又有什么特征？ 字串6

　　(当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式．这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了．而它们的积等于乘式中这两个数的平方差) 字串9

　　继而指出，在多项式的乘法中，对于某些特殊形式的多项式相乘，我们把它写成公式，并加以熟记，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算．以后经常遇到(a b)(a-b)这种乘法，所以把(a b)(a-b)=a2-b2作为公式，叫做乘法的平方差公式． 字串1

　　在此基础上，让学生用语言叙述公式． 字串2

　　二、运用举例 变式练习

　　例1 计算(1 2x)(1-2x)． 字串1

　　解：(1 2x)(1-2x)

　　=12-(2x)2 字串4

　　=1-4x2．

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　　教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么．

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　　例2 计算(b2 2a3)(2a3-b2)．

　　解：(b2 2a3)(2a3-b2)

　　＝(2a3 b2)(2a3-b2)

　　＝(2a3)2-(b2)2 字串2

　　＝4a6-b4．

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　　教师引导学生发现，只需将(b2 2a3)中的两项交换位置，就可用平方差公式进行计算．

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　　课堂练习

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　　运用平方差公式计算：

　　(l)(x a)(x-a)；　　　　(2)(m n)(m-n)；

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　　(3)(a 3b)(a-3b)；　　　(4)(1-5y)(l 5y)．

　　例3 计算(-4a-1)(-4a 1)． 字串2

　　让学生在练习本上计算，教师巡视学生解题情况，让采用不同解法的两个学生进行板演．

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　　解法1：(-4a-1)(-4a 1) 字串1

　　=[-(4a l)][-(4a-l)]

　　=(4a 1)(4a-l) 字串6

　　=(4a)2-l2 字串3

　　=16a2-1．

　　解法2：(-4a-l)(-4a l) 字串7

　　=(-4a)2-l 字串5

　　=16a2-1． 字串8

　　根据学生板演，教师指出两种解法都很正确，解法1先用了提出负号的办法，使两乘式首项都变成正的，而后看出两数的和与这两数的差相乘的形式，应用平方差公式，写出结果．解法2把-4a看成一个数，把1看成另一个数，直接写出(-4a)2-l2后得出结果．采用解法2的同学比较注意平方差公式的特征，能看到问题的本质，运算简捷．因此，我们在计算中，先要分析题目的数字特征，然后正确应用平方差公式，就能比较简捷地得到答案． 字串5

　　课堂练习 字串5

　　1．口答下列各题： 字串8

　　(l)(-a b)(a b)；　　　　(2)(a-b)(b a)；

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　　(3)(-a-b)(-a b)；　　　　(4)(a-b)(-a-b)． 字串4

　　2．计算下列各题：

　　(1)(4x-5y)(4x 5y)；　　(2)(-2x2 5)(-2x2-5)；

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　 字串8

　　教师巡视学生练习情况，请不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法． 字串4

　　三、小结 字串3

　　1．什么是平方差公式？ 字串7

　　2．运用公式要注意什么？ 字串5

　　(1)要符合公式特征才能运用平方差公式；

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　　(2)有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形．

　　四、作业 字串7

　　1．运用平方差公式计算： 字串2

　　(l)(x 2y)(x-2y)；　　　　　　(2)(2a-3b)(3b 2a)； 字串9

　　(3)(-1 3x)(-1-3x)；　　　　　(4)(-2b-5)(2b-5)；

　　(5)(2x3 15)(2x3-15)；　　　　(6)(0.3x-0.l)(0.3x l)；
　　 字串3

　　2．计算： 字串6

　　(1)(x y)(x-y) (2x y)(2x y)；　(2)(2a-b)(2a b)-(2b-3a)(3a 2b)；

　　(3)x(x-3)-(x 7)(x-7)；　　　　(4)(2x-5)(x-2) (3x-4)(3x 4)． 字串9